Подготовка к ОГЭ. Последовательности. Арифметическая прогрессия.

Любой ученик девятого класса при желании легко сможет понять, что такое арифметическая или геометрическая прогрессия. Решение большинства задач на тему прогрессий из заданий ОГЭ по математике тоже не вызовет трудностей. Однако есть ряд задач, требующих понимания правильного использования формул прогрессий. Поэтому разберёмся, что такое арифметическая и геометрическая прогрессии и как применяются формулы этих прогрессий.

Запишем произвольный набор чисел, например: 2; 5; 8; 12; 19; 25;... Есть ли какая либо связь между этими числами? Как бы мы не пытались найти связь или закономерность, обнаружить этого нам не удастся. Единственное, что мы сможем сделать – это пронумеровать по порядку все числа. Тогда каждое число будет иметь свой порядковый номер, например, под номером 4 находится только число 12, и ни какое другое и т.д.

Набор чисел мы сможем рассматривать просто как числовую последовательность.

Числовая последовательность – это множество чисел, каждому из которых можно присвоить уникальный номер.

Теперь рассмотрим пару других наборов чисел, точнее, пару последовательностей: 

-1; 2; 3; 4; 5; 6; ...

 - 5; 10; 15; 20; 25; ... В этих последовательностях, кроме того, что каждое число или каждый элемент стоит на определённом месте, можно заметить и некоторую закономерность. В первой последовательности каждый следующий элемент на единицу больше предыдущего. Во второй последовательности каждый следующий элемент на 5 больше предыдущего. В обеих последовательностях каждый следующий элемент, начиная со второго, отличается от предыдущего на одно и то же число.

Такие последовательности называются арифметическими прогрессиями. 

 Сформулируем более точно определение арифметической прогрессии. 

Арифметическая прогрессия – это числовая последовательность, каждый элемент которой равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом. Это число называют разностью арифметической прогрессии и обозначают буквой d. 

Число d может быть положительным, в рассмотренных выше арифметических прогрессиях d=1 и d=5. Число d может быть отрицательным, например, прогрессия 100; 90; 80; 70;… Здесь число d = - 10. Легко можно заметить, что если разность прогрессии, число d , больше нуля, то прогрессия возрастающая. Если разность прогрессии меньше нуля, то прогрессия убывающая .

Если мы знаем, как образуется прогрессия и хотим записать некоторую прогрессию, которая начинается, например, с числа 8 и имеет разность прогрессии d = 4, то мы легко запишем первые её члены – 8; 12; 16; 20;… А если нам необходимо узнать член прогрессии под номером, например, 50. Прибавлять по 4 очень долго. В этом случае используют формулу аn = a1 +(n-1)d. 

Для нашей задачи а50 = a1+(50 – 1)*4= 8 +49*4=204. На 50 месте будет находиться число 204.

Формулу аn = a1 +(n-1)d (1) называют уравнением арифметической прогрессии. Эту формулу используют при решении самых разных задач на арифметическую прогрессию.

Вспомним ещё одну формулу арифметической прогрессии. Начнём с интересной задачи. Допустим, есть последовательность - 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7;.....98; 99; 100. и необходимо найти сумму всех её чисел. Заданная последовательность – это арифметическая прогрессия и нам необходимо найти сумму ста её чисел. Если будем складывать числа по порядку, то это займёт очень много времени. Давайте сделаем по-другому. Первое и последнее число в сумме дают 101, второе и предпоследнее в сумме также дают 101, третье и пред предпоследнее опять в сумме дают 101. Значит, объединяя определённым образом числа в пары, в сумме всегда, для данной прогрессии, будем получать 101. А сколько получится пар? Не сложно заметить, что пар будет ровно 50. Тогда сумма заданной прогрессии будет 101*50=5050.

Есть несколько предположений, легенд, по вопросу - кто первый начал считать, таким образом, сумму нескольких членов арифметической прогрессии. Возможно, это был великий математик Карл Гаус или строители египетских пирамид ( зная количество блоков в первом и последнем ряду, а также количество рядов можно рассчитать общее количество блоков) или математики древней Греции. 

Формула суммы нескольких членов арифметической прогрессии является второй основной формулой арифметической прогрессии. Sn = (2a1+d(n-1))*n/2 (2)

Данная формула легко выводится, если рассуждать, как мы рассуждали выше, при расчёте суммы прогрессии от 1 до 100. Sn =( a1 +an)*n/2. Подставляя значение a n из формулы (1), получаем формулу (2).

В указанном видео https://youtu.be/fwWbim7yg1w  мы решаем задачи на последовательности чисел и на арифметическую прогрессию. В задачах на прогрессию рассмотрели, как правильно использовать две основные формулы, указанные в статье.

Автор: Михаил В.

Редакция не несет ответственности за наполнение блогов, они есть персональным мнением автора

Также читайте раздел «Блоги репетиторов»:

Я больше не боюсь общаться на английском

Это статья о типичных страхах, которые могут возникнуть при общении на английском языке и советах, как с ними справиться.

Автор: Мария К.

Иностранный язык: "чужой" или "свой"

Как сделать иностранный язык "своим", почувствовать легкость в его изучении? Как тратить меньше времени на запоминание новых слов в иностранном языке и не потерять интерес к его освоению? Несколько секретов от человека, изучившего без преподавателя испан

Автор: Ольга Е.

Подготовка к ОГЭ. Последовательности. Арифметическая прогрессия.

Статья о числовых последовательностях и арифметической прогрессии. Статью можно использовать как урок для подготовки к сдаче ОГЭ. В прилагаемом видео - разбор решения задач на последовательности и арифметическую прогрессию.

Автор: Михаил В.

Подготовка к ОГЭ по математике. Решение уравнений

Статья для подготовки к ОГЭ на тему как решать алгебраические уравнения.

Автор: Михаил В.

Подготовка к ОГЭ. Серия статей о подготовке к ОГЭ. Числа и вычисления.

Первая статья из серии статей по подготовке к ОГЭ по математике. Статья выражает моё личное мнение по вопросу подготовки к ОГЭ. Возможно, она будет полезна ученикам, готовящимся сдавать ОГЭ, их родителям и начинающим репетиторам.

Автор: Михаил В.