Наверное, многие помнят из своей школьной жизни, как сложно при решении простейших арифметических уравнений было следовать правилам, которые мы заучивали в пятом классе наизусть: «Чтобы найти неизвестное уменьшаемое надо к разности прибавить вычитаемое», или: «Чтобы найти неизвестное вычитаемое надо из уменьшаемого вычесть разность» и т.д. Применяя эти правила, можно было легко запутаться. Где вычитаемое? Где уменьшаемое? Особенно, если решаешь ответственную контрольную работу.
Со временем эти правила расширились и сформировались в алгоритмы решения более сложных, алгебраических уравнений.
- Алгебраические уравнения – это уравнения, содержащие одну или несколько переменных. Изучение решений алгебраических уравнений начинают с линейных уравнений, вида ax+b = 0.
- Линейное уравнение – это уравнение, в котором переменная в первой степени.
Линейное уравнение вида ax+by = c, с двумя переменными, можно преобразовать в функцию y = - a/b*x +с/y или записать это кратко y = kx + d. Графиком этой функции является прямая, отсюда и названия – линейная функция, линейное уравнение.
Правила решения линейных уравнений
Правила решения линейных уравнений не сложные. Кратко напомню их. Преобразуем выражения во многочлен. Раскрываем скобки с учётом знаков. Переносим все слагаемые с переменной (с неизвестной) величиной в одну сторону уравнения, а слагаемые без переменной в другую. При переносе не забываем менять знак слагаемого. Приводим, то есть, суммируем, одинаковые слагаемые и ищем корень уравнения.
- Корень уравнения – это то, значение переменной, при котором уравнение превращается в числовое равенство. При необходимости проверяем найденный корень.
В течение седьмого, восьмого и девятого классов решаются множество разных линейных уравнений и обычно это не вызывает сложности и при сдаче ОГЭ.
Дробно рациональные уравнения
Немного иначе обстоит дело с решением дробно рациональных уравнений.
- Рациональные уравнения – это уравнения, в обеих частях которого находятся рациональные выражения. Что такое рациональные выражения мы рассмотрим в другой статье.
Для сдачи ОГЭ в 9 классе достаточно знать, что если выражение не содержит корень числа, то это выражение рациональное.
- Дробно рациональное уравнение – это уравнение, в одной или обеих частях которого есть дробные выражения.
К сожалению, при решении дробно рациональных уравнений у девятиклассников иногда возникают сложности, поэтому рассмотрим эту тему подробнее. В текстовом документе подробно описать процесс решения дробно рациональных уравнений разных видов достаточно сложно, и не наглядно, лучше, в этом случае, обратиться к видео https://youtu.be/QyKNhyqktrw
В данном видео мною приведён один из способов решения дробно рациональных уравнений с использованием основного свойства пропорции.
Квадратные уравнения
Ещё одна тема в заданиях ОГЭ – решение квадратных уравнений.
- Квадратное уравнение – это алгебраическое выражение вида ax2 +bx +c = 0.
Если коэффициент b=0, или коэффициент с=0, или b=0 и c=0, то получаются неполные квадратные уравнения - ax2 + c = 0, или ax2 +bx = 0, или ax2 = 0.
Кроме этих видов квадратных уравнений есть ещё один интересный вид - приведённое квадратное уравнение.
В приведённом квадратном уравнении коэффициент а = 1. Чтобы это уравнение выделялось в наборе разных квадратных уравнений записывают его следующим образом : x2+px +q=0
- Основной способ решения любого квадратного уравнения – через дискриминант.
Как решается квадратное уравнение через дискриминант знает любой школьник. Неполные квадратные уравнения можно также решать через дискриминант, но есть более простые и рациональные способы решения, о которых наверняка также знает любой школьник.
Квадратные уравнения в ОГЭ
Мы остановимся на решении приведённых квадратных уравнений, которые могут встретиться в заданиях ОГЭ. Приведённое квадратное уравнение всегда можно решить через дискриминант. Но если коэффициенты p и q не дробные и небольшие величины, то значительно проще уравнение может быть решено с использованием теоремы Виета.
Великий французский математик Франсуа Виет ещё в шестнадцатом веке сумел заметить особенность, позволяющую легко решать приведённые квадратные уравнения.
Если есть уравнение x2+px+q=0, то его корни будут соответствовать выражениям
x1*x2 = q и x1+x2 = - p
или словами «произведение корней приведённого квадратного уравнения равно свободному коэффициенту этого уравнения, а сумма корней равна коэффициенту перед х с обратным знаком».
Имея некоторое приведённое квадратное уравнение, например
- х2+3х -10 = 0 ,
записываем
- x1*x2 = - 10 и x1+x2 = - 3.
Далее подбором находим, что
- x1 = -5, а x2 =2.
Теорема Виета имеет ограничения – дискриминант должен быть больше нуля (D>0), но уравнения для ОГЭ, чтобы не усложнять решение, подбирают так, что всегда D>0.
